Quando fiz minha pós-graduação em Finanças e Mercado de Operações Financeiras, no momento de decidir as disciplinas que iria cursar, acabei deixando de fora uma, chamada Matemática Financeira. Fiz isso porque achava que seria uma perda de tempo cursar a disciplina de Matemática Financeira, achei que não teria nada para aprender com ela.
Teria sido um grande erro, digo que teria, pois, no meio do curso, decidi desmarcar algumas matérias programadas, e quando fui remarcá-las, acabei substituindo uma delas pela disciplina de Matemática Financeira.
Sorte grande a que tive, com certeza, meio que por acaso, acabei tendo a oportunidade de cursar umas das matérias mais importantes da pós e útil para nosso dia a dia.
Digo isso, pois considero a Matemática Financeira uma área da Matemática que trata de assuntos muito práticos do cotidiano. Assuntos como cálculos de juros simples e compostos, taxas de juros, descontos, equivalência de capitais, séries de pagamentos, sistemas de amortização (tabelas Price e SAC), fluxo de caixa, entre outros.
Se você deseja entender um pouco mais sobre aquelas taxas de juros cobradas naquele empréstimo do seu banco, sobre aquela taxa de juros recebida em seus investimentos, ou então, entender como funciona aquele financiamento que é baseado na tabela Price, te convido para conhecer mais sobre a Matemática Financeira.
Nesse post e no próximo, estarei apenas falando um pouco sobre alguns desses assuntos que utilizamos bastante em nossos dias, mas que muitas vezes não sabemos como realmente funcionam. Caso exista interesse por parte de nossos visitantes, pode ser que seja disponibilizado para venda um curso básico de Matemática Financeira através de vídeo-aulas.
Para começar, hoje falarei sobre os juros. Na verdade, já falamos um pouco sobre juros no nosso post A mágica dos juros compostos, mas agora abordarei de uma forma um pouco mais técnica e explicarei de que forma são calculados os juros.
Aproveitando o que já dissemos nesse texto anterior, juros, por definição, é a quantia que se paga, além do principal, pelo empréstimo de dinheiro; lucro do capital emprestado ou rendimento. De forma simplificada, podemos dizer como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro, por um determinado período de tempo.
Taxa de juros
Taxa de juros é a razão entre os juros pagos ou recebidos ao final de um período de tempo e o capital tomado ou aplicado inicialmente. A taxa de juros está sempre relacionada a um período de tempo (dia, mês, ano, etc).
De acordo com a definição de que a taxa de juros é a razão entre o valor pago como juros e o capital emprestado, chegamos à fórmula para a obtenção de uma taxa de juros (i):
i (taxa de juros) =Juros/Capital
ou
i = (Montante/Capital)-1
Vejamos o seguinte exemplo:
Ao aplicarmos R$8.500,00, recebemos de juros o valor de R$75,00. Qual será a taxa de juros dessa aplicação?
i=?
J=R$75,00
C=R$8.500,00
I=75/8500 = 0,00882 → 0,00882x100 = 0,88%
De acordo com a fórmula, a taxa de juros obtida nessa aplicação seria a de 0,88%.
Conforme dissemos no texto “A mágica dos juros compostos”, basicamente existem duas formas de juros, o simples e o composto.
Já nos juros compostos, o acréscimo de juros é incluído ao final de cada período, formando, então, um novo capital. O período citado depende da negociação ou das regras do investimento ou empréstimo, pode ser diário, mensal, semestral, etc. Ou seja, como ao final de cada aplicação os juros do período formam o novo capital, no novo período os novos juros que serão pagos incidirão também sobre os primeiros juros já incluídos no capital, e por aí vai.
Juros Simples
Os juros simples ocorrem quando a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial, e não sobre os juros acumulados.
Para o cálculo dos juros simples, utilizamos à seguinte fórmula:
Juros (J) = Capital (C) x Taxa de juros unitária (i) x Periodo do tempo (n)
Uma observação importante é que, tanto a taxa de juros quanto o período de tempo, sejam coincidentes, ou seja, se tivermos uma taxa de juros, por exemplo, de 1%a.m., devemos obrigatoriamente ter um período de tempo baseado em meses, por exemplo, oito meses.
Vejamos o seguinte exemplo:
Em quantos dias a quantia de R$3.000,00, aplicada a taxa de juros de 0,35%a.d., produz juros simples de R$294,00?
J = R$294,00
C = R$3.000,00
i = 0,35%a.d.
n = ?
J = C x i x n
294 = 3.000 x 0,0035 x n
n = 294 / (3.000 x 0,0035) = 28 dias
De acordo com o exemplo, se você aplicar R$3.000,00 a uma taxa de juros simples de 0,35% a.d., em 28 dias você terá os R$294,00 que deseja.
Juros Compostos
Os juros compostos ocorrem quando o acréscimo de juros é incluído ao final de cada período, formando então um novo capital. O período citado depende da negociação ou das regras do investimento ou empréstimo, podendo ser diário, mensal, semestral, etc. Ou seja, como ao final de cada aplicação os juros do período formam o novo capital, no novo período, os novos juros que serão pagos incidirão também sobre os primeiros juros já incluídos no capital, e por aí vai.
São também chamados popularmente de juros sobre juros, e conforme já mostramos no texto A mágica dos juros compostos, nesse tipo de capitalização a taxa de juros varia exponencialmente em função do tempo. Ou seja, no começo os juros são pequenos, mas conforme o tempo passa, seu crescimento é fantástico.
Para o cálculo dos juros compostos, utilizamos à seguinte fórmula:
Montante (M) = Capital (C) x (1 + Taxa (i))Prazo (n)
Para calcular somente os juros, utilizamos a seguinte formula:
J = C x [(1 + i)n -1]
Assim, como falamos no caso dos juros simples, para o cálculo dos juros compostos, tanto a taxa de juros quanto o período de tempo, devem ser coincidentes.
Vejamos o seguinte exemplo:
Determine o montante referente a uma aplicação de R$200.000,00 a uma taxa de juros compostos de 1,2%a.m. durante 6 meses.
M = ?
C = R$200.000,00
i = 1,2%a.m.
n = 6 meses
M = C x (1 + i)n
M = 200.000 x (1 + 0,012)6
M = R$214.838,98
De acordo com o exemplo, se você aplicar R$200.000,00 a uma taxa de juros compostos de 1,2% a.m., em 6 meses você terá R$214.838,98.
Bom, por hoje é só. Espero que tenham gostado, pois no próximo post continuaremos falando mais sobre a Matemática Financeira. Continue nos acompanhando que você não vai se arrepender!
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E isso aí! Vamos continuar aprendendo e caminhando rumo a nossa independência financeira. Todos juntos em direção ao Sucesso Financeiro Pessoal.
Abraços e até a próxima.
Escrito por José Messias Ruggieri
Editado e revisado por Karla C. R. Ruggieri
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